Inhalt
- Federpendel - ein klassischer Vorläufer der Schrödingergleichung?
- Doppelspaltversuch von Jönsson 1961
- "Normierung" der Federpendelschwingung
- "Analyse" der Schrödingergleichung
- quantenmechanischer harmonischer Oszilator
- ein Schlichtes Modell
- Lösung der Schrödingergleichung von Prof. Nürnberger, Uni Regensburg
- nochmals: Beispiel einer DGL
- mathematische Begriffsbildungen
- Vita
Weil im 'alten' Beitrag das zugrunde liegende Konzept durch div. Einschübe ziemlich unscharf geworden war, hier ein neues Konzept des Beitrags Schrödinger-Gleichung, ausgehend von einem klassischen Federpendel und dessen DGL sowie deren Lösung, je nach Betrachtungsweise irgendwie wellenartig. Leifi-Link
Allerdings suggeriert er, als würde zB eine Wasserwelle Wassermoleküle in die Ausbreitungsrichtung der Welle transportieren. Das passiert bei der Brechung einer Welle an der Küste!!!
Also hier die Mathematik eines Federpendels: Hängt zB im Schwerefeld der Erde eine Masse m ruhig an einer Feder, gibt es nach Newton zwei Möglichkeiten: es greift keine Kraft an der Masse an - was offensichtlich falsch ist, oder die angreifenden Kräfte heben sich auf, die Kraftpfeile addieren also zum Nullvektor.
| Im obigen Bild fehlt dieser Moment, im rechten Bild ist er dargestellt und mit FGES= 0 beschriftet. |  |
Für die gesamte Bewegung gilt der Energieerhaltungsatz: Ekin + Epot = const oder Fschwerefeld = m*0 - Die Feder kompensiert die Schwerkraft - und
FFeder = -D Δx - alle Größen als Vektor zu verstehen, außer m und Federkonstante D. In der Ruheposition gilt: Auslenkung Δx = 0. Nach Newton gilt:
Fges = ma, also -D *Δx = m*a. Schreibt man das vereinfacht erhält man eine DGL für die Weg-Zeit-Funktion der Federschwingung: - D*x(t) = m*dt/dv(v(t)). Dividiert man die Gleichung durch m erhält man:-D/m*x(t) = d2/dx2 (x(t)) oder, in Worten: Gesucht ist eine Funktion, deren 2. Ableitung bis auf einen konstanten Faktor gleich der Funktion selber ist. Das leistet etwa die cos-Funktion, dargestellt in ihrem zeitlichen Verlauf mithilfe von GEOGEBRA. Aber Vorsicht, das ist zwar die Beschreibung realer Orte, aber keinesfalls die Lösung einer schrödingerischen DGL. Denn diese Materiewellen haben in ihrer Rohform keine reale physikalische Bedeutung, obwohl man sie zB interferieren kann: Doppelspaltversuch von Jönsson 1961:
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| Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=YM1Z8uAlHH4 |
Jetzt die DGL eines Federpendels mit GEOGEBRA, falls g(x) Lösung der schrödingerischen DGL wäre, nicht die Lösung der DGL eines Federpendels. Man kann ja trotzdem die Bornschen Bedingungen der Kopenhagener Deutung anwenden:
Nachbemerkung:
Natürlich, obiges darf sich nicht als 'Lösung' der Schrödinger-Gleichung - also als Materiewelle, - begreifen, fehlen doch dazu wesentliche Elemente eines "Teilchens im Kasten" wie kinetische Energie, endlich hohe Potentialwände, ein reales Potential uvam. Aber andererseits zeigt diese "Lösung" wesentliche Elemente wie Positivität und Normierung auf. Aber:
Was ist daran noch "schrödingerisch"?
Zugegeben, nur sehr wenig ....
Nachtrag: Analyse der Bestandteile der Schrödingerischen DGL in moderner Notation:
ψ(x,t) ist die gesuchte Wellenfunktion, vergleichbar mit g(x,t=0) des Federpendels
die erste Ableitung des Potentials U, zB der Potentialkasten*) oder das elektr. Potential des Atomkerns, nach dem Ort beschreibt die wirkende Kraft F
in der zweiten Ableitung der Wellenfunktion nach dem Ort x steckt die kin. Energie des Teilchens
Schließlich ist die erste Ableitung der Wellenfunktion zuständig für die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion
die imaginäre Einheit i (i2=-1) ist zuständig für ....???
Die - möglicherweise - numerische Lösung liefert die 'Eigenwerte' der Energie des auf den Orbitalen 'kreisenden' Elektrons
*): siehe LEIFI-Physik Link
Eine einigermaßen realistische Lösung der Schrödingergleichung stellt das Modell eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators dar. Aber dazu verlinke ich auf einschlägige Seiten: Link
Das schlichtsche Modell:
- Beginnen wir mit einem Federpendel und notieren ca 4 Sekunden Auf und Ab.
- Je nach Gefühl entstehen Ober-Wellen mit 1 oder 2 oder mehr 'Bäuchen'.
- Solche 'Wellenbäuche' kann man zB gut mittels von Zeit unabhängiger sin- oder cos-Funktionen mathematisch in den Griff bekommen, welche 'nur' das vertikale Schwingen eines Masseteilchens beschreiben, nicht dessen zeitliches Fortschreiten einer Welle: ψ(x,t) -> ψ(x0,t) -> x(t) im y-x-Koordinatensystem: y=g(x) = cos(x) oder g(x) = sin(x)!
- Jetzt geht's ans Eingemachte schrödingerischer Wellen:
- Die o. g. Funktionswerte sind uU negativ. Somit wären sie unbrauchbar als Wahrscheinlichkeiten. Lösung: Wir quadrieren die Funktion.
- Die Funktionswerte müssen offensichtlich Werte von 0 bis 1 haben. Lösung: Wir normieren die Funktion, brauchen aber dazu ein wenig Integralrechnung. Mit diesem Tool berechnen wir die Fläche A zwischen x-Achse und dem Graph der Funktion.
- Also, nochmals das Rezept:
- vermutete 'Wellengleichung' Ψ(x,t) = g(x) notieren
- Funktionswerte quadrieren: Ψ2(x,t) = f2(x)
- Funktion normieren (Integral Ψ2(x,t) von x=-∞ bis x=∞ berechnen lassen): 'Fläche' A
Ψneu(x) = Ψ2(x,t) / A notieren, so ergibt die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 - Ψneu(x1,t1) / A = normiert(x1) berechnen, daraus diverses erschließen
Trotz aller Schwächen bis falscher, fehlender Annahmen können wir etwa das Verhalten eines Elektrons eines Wasserstoffatoms beschreiben, müssten aber dazu den 'Kasten' den energetischen elektrischen Gegebenheit anpassen. Dann können wir - Freude über alles - zB die Bohrschen Quantenzahlen 'verstehen'! Und die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im sog. Orbitalmodell darstellen:
Quelle: elektroniktutor.de - hier: Link
Die Anwendungen dieser Er-Kenntnisse sind Legion!
Wer Lust hat, kann ja mal versuchen, die Schrödinger-Gleichung etwa tiefer zu verstehen ...
Aber das braucht eine Menge an Mathematik!
Dennoch, lassen wir mal Prof. Nürnberger von der Universität Regensburg ran ....
Für die Zwecke dieses Projekts ist aber durchaus nützlich, sich mit klassischen DGLs zu beschäftigen. Wir wissen zB, wie ein Körper im Schwerefeld der Erde fällt:
x(t) = g/2 * t2
mit g = -9.81 m/sec2
Leiten wir das spaßeshalber mal ab oder lassen es ableiten:
dx(t)/dt = g*t und nochmal ableiten:
dx2/dt2 = g
Dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, d.h.: Gesucht ist also eine Funktion x(t), für deren 2. Ableitung gilt: dx(t)2/dt2 = g. Diese DGL lässt sich durch Integration lösen. Das kann zB auch GEOGEBRA - interessant nur ab t >= 0 !!!
Vielleicht sind noch einige Begriffsbildungen hilfreich:
3=4 ist eine Aussage, welche falsch ist //
x=8/2 ist eine Gleichung, welche vom Element 4 der Menge M={4, 97, ...} zu einer wahren Aussage gemacht wird - die Menge L ={4} ist als echte Teilmenge von M eine Lösungsmenge der Gleichung x=8/2//
f(x) = 0,25 + x ist eine Funktion mit Funktionsnamen f(x) und Funktionsterm 0,25+x //
f(x) = f'(x) oder f(x) = df/dx ist ein Differentialgleichung, welche einzig von exp(x) + const gelöst wird //
d/dx und d2/dx2 sind sog. Differentialoperatoren wie bei Schrödinger etwa δ/δt oder δ2/δx2 sogenannte 'partielle' Differentialoperatoren, angewendet auf die gesuchte Lösung ψ(x,t)
der schrödingerischen Differentialgleichung:
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Dabei ist eine gewisse Analogie dieser DGl zu gibt es Analogien zwischen der Schrödingergleichung und klassischen Differentialgleichungen?
Ja, es gibt faszinierende Parallelen. Obwohl die Schrödingergleichung die Basis der Quantenmechanik bildet, teilt sie ihre mathematische Struktur mit bekannten klassischen Systemen:
Die Wellengleichung: Die offensichtlichste Analogie besteht zur klassischen Wellengleichung (z. B. für Schall oder Licht). Beide beschreiben die Ausbreitung von Wellen und nutzen das Superpositionsprinzip. Der Hauptunterschied: Die Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit und nutzt komplexe Zahlen, was zu einer dispersionstypischen Ausbreitung führt. |
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Vita
Nobelpreis im Jahre 1933 - gemeinsam mit Paul Dirac - "für die Entdeckung neuer, produktiver Formen der Atomtheorie" (Original: "for the discovery of new productive forms of atomic theory"