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Im Beitrag 6a - Schrödingergleichung - wurde der Name ergänzt durch 'Analogie'. In diesem Beitrag 6b nun geht es um die Lösung der Schrödingergleichung und deren Visualisierung:
- Warum die komplexe Zahl 'i'? - zur Erinnerung: i2 = -1
- Warum ist die Dimension des Lösungsraums unendlich?
- Was ist ein 'Hilbertraum', i.e. Hilbert-Raum?
- Welche Basis hat der Hilbertraum?
- ein Quantensprung: chatcpt & Grapher & Pensionistenspieltrieb
- Der Zeemann-Effekt
zu a) meint die KI:
Das (die imaginäre Einheit) ist in der Schrödingergleichung absolut fundamental und kein bloßer Rechentrick. Es hat drei wesentliche Bedeutungen:
- Oszillation statt Zerfall: In der Mathematik beschreiben Differentialgleichungen ohne oft Prozesse, die exponentiell abfallen (wie Wärmeausbreitung). Das sorgt dafür, dass die Lösungen Wellen sind, die zeitlich schwingen (phasenstabil bleiben), anstatt einfach zu verschwinden
- Phaseninformation: Quantenmechanische Zustände sind komplexwertig. Das erlaubt es der Wellenfunktion, eine Phase zu haben. Diese Phase ist entscheidend für Interferenz – also das Phänomen, dass sich Teilchen wie Wellen auslöschen oder verstärken können
- Unitäre Zeitentwicklung: In der Quantenmechanik muss die Gesamtwahrscheinlichkeit (100 %) immer erhalten bleiben. Das sorgt mathematisch dafür, dass der Zeitentwicklungsoperator unitär ist. Das bedeutet: Das Teilchen kann seine Form oder Position ändern, aber es kann nicht "aus der Existenz wegdiffundieren".
zu b) meint die KI:
siehe c)
zu c) meint die KI:
Da die Schrödingergleichung eine lineare partielle Differentialgleichung ist, bilden ihre Lösungen einen Vektorraum. Für ein physikalisches System ist dieser Lösungsraum (der Hilbertraum) unendlichdimensional, da es unendlich viele linear unabhängige Zustandsfunktionen ψ gibt. Der Raum unserer Anschauung ist dreidimensional, bzw. vierdimensional in der allgemeinen Relativitätstheorie.
zu d) meint die KI:
Es gibt nicht die eine Basis, sondern man wählt sie je nach Problemstellung aus. Da der Lösungsraum ein unendlichdimensionaler Hilbertraum ist, besteht die Basis aus einem vollständigen Satz linear unabhängiger Funktionen. Die gebräuchlichsten Basen sind:
- Energie-Eigenbasis: Das ist die am häufigsten genutzte Basis. Sie besteht aus den Eigenfunktionen des Hamilton-Operators. Der Vorteil: In dieser Basis ist die Zeitentwicklung sehr einfach zu berechnen.
- Ortsbasis: Hier dienen die (idealisierten) Orts-Eigenzustände als Basis. Die "Koeffizienten" sind in diesem Fall einfach die Werte der Wellenfunktion an jedem Punkt.
- Impulsbasis: Hier nutzt man ebene Wellen (Eigenfunktionen des Impulsoperators). Das ist besonders hilfreich für freie Teilchen.
Zu e) meint Tobias, dass ich die Fähigkeiten des GRAPHER - kostenlos auf dem MAC - mal mit dem ChatGPT kombinieren sollte. Und siehe da: tolle Bilder etwa des 3do-Orbitals des Wasserstoffatoms für die
Hauptquantenzahl n = 3,
die Nebenquantenzahlen l = 0,1 und 2 und
die magnetischen Quantenzahlen m = -2 ... +2 und den
Spins s = -1/2 oder +1/2.
Insgesamt also (1 + 3 + 5)*2 = 18 Zustände ....
Innerhalb der dargestellten Körper - zB des 3do-Orbitals - ist die Wahrscheinlichkeit des Aufenthaltes des einen Elektrons des Wasserstoffatoms 90 Prozent.
Daten: chatcpt - Visualisierung: MAC-Grapher - (Grafik: pk)
Die Quantisierung des Drehimpulses kann man klassisch sich so vorstellen. Aber Vorsicht, das ist eine überholte, klassische Hilfskonstruktion:
Quelle: Lizenz Creative common Namensnennung siehe (C) PhysKi
Download GRAPHER-Software für WindowsRechner
Übungshalber: Wie lauten die Quantenzahlen des Wasserstoffatoms bzgl. der HtQuZahl n=4: l=-3,-2,-1,0,1,+2 und +3, Spin s: +/- 1/2, ..... Lösung: 32 Zustände
zu f)
Im Jahre 1896 konnte Pieter Zeeman, erklären, warum etwa bestimmte Linien des Wasserstoffs in Magnetfelder sich aufspalteten. Drei Jahre später gelang Hendrik Antoon Lorentz eine Erklärung unter der Annahme, dass das von Atomen ausgesandte Licht durch bewegte Elektronen erzeugt wird. Beide erhielten im Jahre 1902 den Nobelpreis für Physik.
Bemerkenswert ist aus heutiger Sicht, dass diese Aufspaltung Folge der Quantisierung der Energie des einen Elektrons des Wasserstoffatoms ist und dass beide ihre Entdeckungen lange vor der 'Geburt' der Quantenphysik im Jahre 1905 machten.
Dieser - magnetische - Zeeman-Effekt und der Stark-Effekt - das elektrische Pendant - finden starke Anwendung bei der Untersuchung des Magnetfeldes der Sonne und weit entfernter Sterne!
Auch ist bemerkenswert, dass klassische Begrifflichkeiten - Bahndrehimpuls L und der zugeordneten Orientierung M des Drehimpulsvektors - eine anschauliche Deutung des Effekts ermöglichen mit s, p, d, ... Orbitalen.